ติวคณิตศาสตร์
หน้าแรกเทคนิคการคิดเลขเร็วป.1 - ป.6ม.1 - ม.3ม.4 - ม.6ผู้ทำเว็บ

จำนวนเฉพาะ

เรื่องที่เกี่ยวข้อง
ตัวประกอบของจำนวนนับ
ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย)
ห.ร.ม. (หารร่วมมาก)
แบบฝึกหัดข้อสอบ
จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ


วิดีโอสอนจำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ


ผู้ชม 62,587 ผู้ลงคะแนน 45 คะแนนเฉลี่ย 4
จำนวนเฉพาะ คือจำนวนที่มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวคือ 1 และตัวมันเอง
จำนวนประกอบ คือจำนวนที่มีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว

วิธีตรวจสอบว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

นำจำนวนที่ต้องการตรวจสอบมาแยกตัวประกอบ
ถ้าจำนวนนั้นสามารถแยกเป็นตัวประกอบ 2 ตัวที่ไม่ใช่ 1 และตัวมันเอง จำนวนนั้นไม่ใช่จำนวนเฉพาะ

1 = 1 x 1 มีตัวประกอบเพียงตัวเดียวคือ 1
1 จึง ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ และไม่ใช่จำนวนประกอบ

2 = 1 x 2 มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวคือ 1 และ 2 ซึ่งเป็นตัวมันเอง
2 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ

3 = 1 x 3 มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวคือ 1 และ 3 ซึ่งเป็นตัวมันเอง
3 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ

4 = 2 x 2 สามารถเขียน 4 ในรูปของผลคูณของตัวประกอบอื่น
ที่ไม่ใช่ 1 และตัวมันเอง 4 จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
4 มีตัวประกอบทั้งหมด 3 ตัวคือ 1, 2 และ 4
ดังนั้น 4 เป็นจำนวนประกอบ
เพราะมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว

5 = 1 x 5 มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวคือ 1 และ 5 ซึ่งเป็นตัวมันเอง
5 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ

6 = 2 x 3 สามารถเขียน 6 ในรูปของผลคูณของตัวประกอบอื่น
ที่ไม่ใช่ 1 และตัวมันเอง 6 จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
6 มีตัวประกอบทั้งหมด 4 ตัวคือ 1, 2, 3 และ 6
ดังนั้น 6 เป็นจำนวนประกอบ
เพราะมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว

7 = 1 x 7 มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวคือ 1 และ 7 ซึ่งเป็นตัวมันเอง
7 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ

8 = 2 x 4 สามารถเขียน 8 ในรูปของผลคูณของตัวประกอบอื่น
ที่ไม่ใช่ 1 และตัวมันเอง 8 จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
8 มีตัวประกอบทั้งหมด 4 ตัวคือ 1, 2, 4 และ 8
ดังนั้น 8 เป็นจำนวนประกอบ
เพราะมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว

9 = 3 x 3 สามารถเขียน 9 ในรูปของผลคูณของตัวประกอบอื่น
ที่ไม่ใช่ 1 และตัวมันเอง 9 จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
9 มีตัวประกอบทั้งหมด 3 ตัวคือ 1, 3 และ 9
ดังนั้น 9 เป็นจำนวนประกอบ
เพราะมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว

10 = 2 x 5 สามารถเขียน 10 ในรูปของผลคูณของตัวประกอบอื่น
ที่ไม่ใช่ 1 และตัวมันเอง 10 จึงไม่เป็นจำนวนเฉพาะ
10 มีตัวประกอบทั้งหมด 4 ตัวคือ 1, 2, 5 และ 10
ดังนั้น 10 เป็นจำนวนประกอบ
เพราะมีตัวประกอบมากกว่า 2 ตัว

11 = 1 x 11 มีตัวประกอบเพียง 2 ตัวคือ 1 และ 11 ซึ่งเป็นตัวมันเอง
11 จึงเป็นจำนวนเฉพาะ

ใหัสังเกตว่า 4, 6, 8, 9 และ 10 ทั้ง 5 จำนวนนี้เป็นจำนวนประกอบ
ซึ่งมีจำนวนเฉพาะเป็นตัวประกอบอย่างน้อย 1 ตัว
4 = 2 x 2 2 เป็นจำนวนเฉพาะ
6 = 2 x 3 2 และ 3 เป็นจำนวนเฉพาะ
8 = 2 x 2 x 2 2 เป็นจำนวนเฉพาะ
9 = 3 x 3 3 เป็นจำนวนเฉพาะ
10 = 2 x 5 2 และ 5 เป็นจำนวนเฉพาะ

จากตัวอย่างข้างต้นนี้ แสดงให้เห็นว่า จำนวนประกอบคือผลคูณของจำนวนเฉพาะ

24 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ ?

ถ้า 24 เกิดจากผลคูณของจำนวนเฉพาะ จะมีจำนวนเฉพาะเป็นตัวประกอบของ 24 อย่างน้อย 1 ตัว

นำ 24 มาแยกตัวประกอบโดยใช้ผังรูปต้นไม้
จำนวนที่อยู่ปลายกิ่งของผังรูปต้นไม้คือจำนวนเฉพาะ
24 = 2 x 2 x 2 x 3

ตรวจสอบว่ามีจำนวนเฉพาะเป็นตัวประกอบของ 24 หรือไม่ ?
โดยนำจำนวนเฉพาะไปหาร 24
ตรวจว่า 2 เป็นตัวประกอบหนึ่งของ 24 หรือไม่ ?
โดยนำ 2 ไปหาร 24
24 ÷ 2 หารลงตัว แสดงว่า 2 เป็นตัวประกอบหนึ่งของ 24
2 เป็นตัวประกอบหนึ่งของ 24 แสดงว่า 24 เกิดจากผลคูณของจำนวนเฉพาะ
ดังนั้น 24 ไม่ใช่จำนวนเฉพาะ แต่เป็นจำนวนประกอบ

จำนวนคู่ทุกจำนวน สามารถหารด้วย 2 ลงตัว แสดงว่าจำนวนคู่ทุกจำนวนมี 2 เป็นตัวประกอบ
จำนวนคู่ทุกจำนวน (ยกเว้น 2 ) จึงไม่ใช่จำนวนเฉพาะ แต่เป็นจำนวนประกอบ

143 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ ?

ตรวจว่ามีจำนวนเฉพาะอย่างน้อย 1 ตัวเป็นตัวประกอบอยู่ใน 143 หรือไม่ ?
ถ้ามี แสดงว่า 143 เกิดจากผลคูณของจำนวนเฉพาะ
ถ้าไม่มี แสดงว่า 143 ไม่ได้เกิดจากผลคูณของจำนวนเฉพาะ

นำจำนวนเฉพาะแต่ละจำนวนมาตรวจว่าเป็นตัวประกอบอยู่ใน 143 หรือไม่

ตรวจว่า 2 เป็นตัวประกอบอยู่ใน 143 หรือไม่
143 ÷ 2 หารไม่ลงตัว แสดงว่า 2 ไม่ได้เป็นตัวประกอบอยู่ใน 143

ตรวจว่า 3 เป็นตัวประกอบอยู่ใน 143 หรือไม่
143 ÷ 3 หารไม่ลงตัว แสดงว่า 3 ไม่ได้เป็นตัวประกอบอยู่ใน 143

ตรวจว่า 5 เป็นตัวประกอบอยู่ใน 143 หรือไม่
143 ÷ 5 หารไม่ลงตัว แสดงว่า 5 ไม่ได้เป็นตัวประกอบอยู่ใน 143

ตรวจว่า 7 เป็นตัวประกอบอยู่ใน 143 หรือไม่
143 ÷ 7 หารไม่ลงตัว แสดงว่า 7 ไม่ได้เป็นตัวประกอบอยู่ใน 143

ตรวจว่า 11 เป็นตัวประกอบอยู่ใน 143 หรือไม่
143 ÷ 11 หารลงตัว แสดงว่า 11 เป็นตัวประกอบอยู่ใน 143
11 เป็นตัวประกอบหนึ่งของ 143 แสดงว่า 143 เกิดจากผลคูณของจำนวนเฉพาะ
143 = 11 x 13
เนื่องจาก มีจำนวนเฉพาะเป็นตัวประกอบของ 143
จึงสรุปได้ว่า 143 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ แต่เป็นจำนวนประกอบ

151 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่ ?

ตรวจว่ามีจำนวนเฉพาะอย่างน้อย 1 ตัวเป็นตัวประกอบอยู่ใน 151 หรือไม่ ?
ถ้ามี แสดงว่า 151 เกิดจากผลคูณของจำนวนเฉพาะ
ถ้าไม่มี แสดงว่า 151 ไม่ได้เกิดจากผลคูณของจำนวนเฉพาะ

นำจำนวนเฉพาะแต่ละจำนวนมาตรวจว่าเป็นตัวประกอบอยู่ใน 151 หรือไม่

ตรวจว่า 2 เป็นตัวประกอบอยู่ใน 151 หรือไม่
151 ÷ 2 หารไม่ลงตัว แสดงว่า 2 ไม่ได้เป็นตัวประกอบอยู่ใน 151

ตรวจว่า 3 เป็นตัวประกอบอยู่ใน 151 หรือไม่
151 ÷ 3 หารไม่ลงตัว แสดงว่า 3 ไม่ได้เป็นตัวประกอบอยู่ใน 151

ตรวจว่า 5 เป็นตัวประกอบอยู่ใน 151 หรือไม่
151 ÷ 5 หารไม่ลงตัว แสดงว่า 5 ไม่ได้เป็นตัวประกอบอยู่ใน 151

ตรวจว่า 7 เป็นตัวประกอบอยู่ใน 151 หรือไม่
151 ÷ 7 หารไม่ลงตัว แสดงว่า 7 ไม่ได้เป็นตัวประกอบอยู่ใน 151

ตรวจว่า 11 เป็นตัวประกอบอยู่ใน 151 หรือไม่
151 ÷ 11 หารไม่ลงตัว แสดงว่า 11 ไม่ได้เป็นตัวประกอบอยู่ใน 151
:
:
จำนวนเฉพาะที่ถัดจาก 11 คือ 13, 17, 19, . . .

จำเป็นต้องตรวจจำนวนเฉพาะทุกจำนวนที่มีค่าน้อยกว่า 151 หรือไม่ ?

นำจำนวนเฉพาะมายกกำลังสอง
ถ้า (จำนวนเฉพาะ)2 > 151 ให้ยุติการตรวจสอบ

132 = 13 x 13 = 169 169 > 151 ดังนั้น ให้ยุติการตรวจสอบ

ไม่ต้องตรวจว่า 13 เป็นตัวประกอบอยู่ใน 151 หรือไม่ เพราะ 132 > 151

เนื่องจาก ไม่มีจำนวนเฉพาะเป็นตัวประกอบของ 151
จึงสรุปว่า 151 เป็นจำนวนเฉพาะ

สรุปวิธีตรวจสอบจำนวนเฉพาะ
ให้ a คือจำนวนที่ต้องการตรวจสอบว่าเป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่
b1, b2, b3, . . . bn คือ จำนวนเฉพาะซึ่ง b1 < b2 < b3 . . . < bn และ bn2 ≤ a

นำ b1, b2, b3, . . . bn แต่ละจำนวนไปหาร a

ถ้าไม่มี จำนวนใดหาร a ลงตัว สรุปว่า a เป็นจำนวนเฉพาะ
ถ้ามี
b1 หรือ b2 หรือ b3 . . . หรือ bn จำนวนใดจำนวนหนึ่งหาร a ลงตัว
สรุปว่า a ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ แต่เป็นจำนวนประกอบ


ตัวอย่างที่ 1
ตรวจสอบว่า 147 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

132 = 13 x 13 = 169 132 > 147
112 = 11 x 11 = 121 112 < 147

จำนวนเฉพาะที่นำมาตรวจสอบคือ 2, 3, 5, 7, 11
นำ 2, 3, 5, 7, 11 แต่ละจำนวนไปหาร 147

ถ้าไม่มีจำนวนใดหาร 147 ลงตัว สรุปว่า 147 เป็นจำนวนเฉพาะ
ถ้ามีจำนวนใดจำนวนหนึ่งหาร 147 ลงตัว สรุปว่า 147 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

3 หาร 147 ลงตัว คือ 147 ÷ 3 = 49 มีจำนวนเฉพาะที่หาร 147 ลงตัว
สรุปว่า 147 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

ตัวอย่างที่ 2
ตรวจสอบว่า 97 เป็นจำนวนเฉพาะหรือไม่

112 = 11 x 11 = 121 112 > 97
72 = 7 x 7 = 49 72 < 97

จำนวนเฉพาะที่นำมาตรวจสอบคือ 2, 3, 5, 7
นำ 2, 3, 5, 7 แต่ละจำนวนไปหาร 97

ถ้าไม่มีจำนวนใดหาร 97 ลงตัว สรุปว่า 97 เป็นจำนวนเฉพาะ
ถ้ามีจำนวนใดจำนวนหนึ่งหาร 97 ลงตัว สรุปว่า 97 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ

ไม่มีจำนวนใดหาร 97 ลงตัว สรุปว่า 97 เป็นจำนวนเฉพาะ


ตัวอย่างที่ 3
จำนวนเฉพาะที่อยู่ในช่วง 1 - 50 มีกี่จำนวน ?
จำนวนใดบ้าง ?


วิธีตรวจสอบจำนวนเฉพาะที่กล่าวมาเหมาะกับการตรวจสอบจำนวนนับ จำนวนใดจำนวนหนึ่งทีละจำนวน ในกรณีที่ต้องการหาจำนวนเฉพาะหลายจำนวนที่อยู่ในช่วงที่กำหนด หากใช้วิธีตรวจสอบทีละจำนวนจะเสียเวลามาก

วิธีที่เหมาะสมสำหรับกรณีนี้คือ ตัดจำนวนประกอบที่อยู่ในช่วงที่กำหนดออก จะได้คำตอบเร็วกว่า

พิจารณาตัวเลขตั้งแต่ 2 - 50 (ตัดตัวเลข 1 ออก เพราะ 1 ไม่เป็นจำนวนเฉพาะ)

จำนวนเฉพาะ ตัวแรกคือ 2 ตัดจำนวนประกอบที่เกิดจาก 2 ออก
จำนวนที่มี 2 เป็นตัวประกอบคือ จำนวนคู่ ดังนั้น ตัดจำนวนคู่ออก

จำนวนเฉพาะตัวถัดไปคือ 3 ตัดจำนวนประกอบที่เกิดจาก 3 ออก
จำนวนที่มี 3 เป็นตัวประกอบ คือจำนวนที่หารด้วย 3 ลงตัว



จำนวนเฉพาะตัวถัดไปคือ 5 ตัดจำนวนประกอบที่เกิดจาก 5 ออก
จำนวนที่มี 5 เป็นตัวประกอบ คือจำนวนที่ลงท้ายด้วย 0 และลงท้ายด้วย 5



จำนวนเฉพาะตัวถัดไปคือ 7 ตัดจำนวนประกอบที่เกิดจาก 7 ออก
จำนวนที่มี 7 เป็นตัวประกอบ คือจำนวนที่หารด้วย 7 ลงตัว



จำนวนเฉพาะตัวถัดไปคือ 11
เนื่องจาก 112 > 47 นั่นคือ (จำนวนเฉพาะ)2 > จำนวนสุดท้าย
ดังนั้น ยุติการตรวจสอบ

จำนวนที่ไม่ถูกตัดออกคือจำนวนเฉพาะที่อยู่ในช่วง 1 - 50
ได้แก่ 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47

ขอแนะนำให้จำเลขจำนวนเฉพาะชุดนี้ไว้
เพราะใช้เป็นเครื่องมือสำหรับตรวจสอบเลขจำนวนอื่นในการทำแบบฝึกหัดและทำข้อสอบ


การแยกตัวประกอบ

โจทย์ข้อสอบที่กล่าวถึงการแยกตัวประกอบของจำนวนใด ๆ
ถ้าไม่มีการระบุเป็นอย่างอื่น จะหมายถึงแยกจนถึงระดับต่ำสุดของผังต้นไม้เสมอ
นั่นคือแยกเป็นตัวประกอบเฉพาะเสมอ
(ตัวประกอบเฉพาะคือทุกจำนวนของตัวประกอบเป็นจำนวนเฉพาะ)

ตัวอย่าง

84 = 2 x 2 x 3 x 7

  
ผู้ชม 62,588 ผู้ลงคะแนน 45 คะแนนเฉลี่ย 4
เรื่องที่เกี่ยวข้อง
ตัวประกอบของจำนวนนับ
ค.ร.น. (คูณร่วมน้อย)
ห.ร.ม. (หารร่วมมาก)
แบบฝึกหัดข้อสอบ
จำนวนเฉพาะและจำนวนประกอบ

 

ท่องศัพท์ด้วยภาพ

ภาพดึงดูดความสนใจได้ดีกว่าตัวหนังสือ การจับคู่ระหว่างภาพและคำศัพท์จึงช่วยให้นักเรียนจำศัพท์ได้เร็วขึ้น เทคนิคการท่องศัพท์นี้ทำให้การท่องศัพท์สนุกสนาน ไม่น่าเบื่อ นักเรียนถูกทดสอบผ่านการเล่นเกม โดยเกมทำหน้าที่สุ่มคำศัพท์และรูปภาพให้นักเรียนจับคู่ การจับคู่ถูกหรือผิดมีผลต่อเหตุการณ์ในเกม ซึ่งในที่สุดจะนำไปสู่การชนะหรือแพ้

ถ้านักเรียนแพ้ จะเกิดแรงท้าทายให้แก้ตัวใหม่ การเล่นเกมแก้ตัวใหม่อีกครั้งเป็นการทบทวนศัพท์อีกรอบ นักเรียนจะถูกกระตุ้นให้เล่นเกมไปเรื่อย ๆ จนกว่าจะชนะ เมื่อนักเรียนเล่นเกมจนจำศัพท์ได้ทุกคำ เขาจะชนะทุกครั้งที่แข่ง สร้างความภูมิใจให้พวกเขาและเป็นความสำเร็จของกุศโลบายการท่องศัพท์

... รายละเอียดเพิ่มเติม ...



สงวนลิขสิทธิ์ตามกฏหมาย Copyright (C) 2011-2017 All rights reserved.